「今日は二人だけですね」
由紀は部室の窓を開けた。秋の風が心地よい。
「たまには、ゆっくり基礎を固めよう」葵がお茶を淹れながら言った。
「実は、まだよく分かってないことがあって」
「何？」
「通信路容量って、結局何なんですか？」
葵が席に座り、ノートを開いた。「簡単に言えば、通信路が伝えられる情報の最大レート」
「レート？」
「単位時間あたりのビット数。例えば、1秒間に最大100ビット送れる通信路なら、容量は100bps」
由紀が考えた。「でも、ノイズがあったら？」
「鋭い。ノイズがあると、容量は減る。でも、ゼロにはならない」
葵は図を描いた。
「送信側→通信路(ノイズ付き)→受信側」
「シャノンが証明したのは、容量以下のレートなら、誤り確率をほぼゼロにできること」
「でも、ノイズで情報が壊れるのに？」
「誤り訂正符号を使う。適切に設計すれば、どんなにノイズがあっても、容量まで到達できる」
由紀が驚いた。「それって、魔法みたいですね」
「数学の魔法だ。ただし、容量を超えるレートでは、どんな符号でも誤りを避けられない」
「シャノン限界…」
「そう。これが通信理論の最も重要な定理だ」
由紀がお茶を飲みながら尋ねた。「容量は、どうやって計算するんですか？」
「相互情報量の最大値。C = max I(X;Y)」
「相互情報量？」
「送信Xと受信Yが、どれだけ情報を共有しているか。完璧な通信ならI(X;Y)=H(X)。ノイズがあると減る」
葵は例を書いた。
「2値通信路で、確率pで誤るとする。容量は1 - H(p)ビット」
「pが0なら、容量は1ビット。pが0.5なら、容量はゼロ」
「完全にランダムだと、情報が伝わらない」由紀が納得した。
「でも、pが0.5より大きくても、容量は正になる」
「え？半分以上間違えても？」
「ビットを反転させればいい。誤りが多いという情報自体が、実は情報だ」
由紀が笑った。「なるほど！逆転の発想」
二人は静かに計算を続けた。
「葵先輩」由紀がふと言った。「情報理論って、探検みたいですね」
「探検？」
「限界がどこにあるか分からない。でも、少しずつ見えてくる。今日も新しい景色を見た気がします」
葵が微笑んだ。「良い比喩だ。シャノンも、未知の領域を探検していた」
「私たちも、その道をたどってるんですね」
「そう。教科書の式も、昔は誰かの大発見だった」
由紀がノートに書いた。「通信路容量：情報が流れる川の幅」
「いい例えだ」
「ノイズは岩や障害物。でも、流れ方を工夫すれば、水は通る」
「誤り訂正符号が、その工夫」
窓の外で、鳥が鳴いた。
「次は、どこを探検しましょうか？」由紀が目を輝かせた。
「レート歪み理論。容量の双対概念だ」
「楽しみです」
葵がお茶を注ぎ足した。「情報理論の探検は、まだ始まったばかりだ」
二人の探検記は続く。通信路の奥深くへ。