「ミラは何を考えてるか、全然わからない」
由紀が図書館の隅で呟いた。ミラは向かい側で本を読んでいる。無表情のまま。
葵が静かに答えた。「それは、相互情報量が低いからだ」
「相互情報量？」
「二つの変数が共有する情報の量。I(X;Y)と書く」
ミラがノートを差し出した。いつの間にか、式が書かれている。
「I(X;Y) = H(X) - H(X|Y)」
葵が解説した。「Xのエントロピーから、Yを知った後のXの条件付きエントロピーを引いたもの」
「難しい...」
「簡単に言えば、YがわかることでXの不確実性がどれだけ減るか、ということ」
由紀が考えた。「じゃあ、ミラを観察しても、ミラの気持ちがわからないのは...」
「観察可能な情報Yと、内面の状態Xの相互情報量が小さいから」
ミラが微かに笑った。そして、新しい例を書いた。
「天気と傘の持参」
葵が続けた。「曇りの日は傘を持つ人が多い。晴れの日は少ない。この相関が相互情報量だ」
「完全に独立なら？」
「相互情報量はゼロ。お互いから何も学べない」
由紀がノートにメモした。「逆に、完全に決まってたら？」
「相互情報量は最大。一方を知れば、もう一方も完全にわかる」
ミラが追加で書いた。「友情 = high mutual information?」
由紀が目を輝かせた。「そうか！仲が良いって、お互いの状態を予測できるってこと？」
葵が頷いた。「ある意味そうだ。長年の友人なら、相手の反応が予測できる。これは、相互情報量が高い証拠」
「でも、完全に予測できたら？」
「つまらないかもしれない。適度な不確実性が関係を面白くする」
ミラが新しいページを開いた。図が描かれている。二つの円が重なっている。
「ベン図」葵が説明した。「XとYの情報量を円で表す。重なった部分が相互情報量」
「きれいな図だ」
「相互情報量には重要な性質がある。対称性だ。I(X;Y) = I(Y;X)」
「XとYを入れ替えても同じ？」
「そう。KLダイバージェンスとは違って、順序が関係ない」
由紀が質問した。「相互情報量はどうやって使うんですか？」
葵が例を挙げた。「機械学習で特徴選択をするとき。目的変数Yと相互情報量が高い特徴Xを選ぶ」
「予測に役立つってこと？」
「正確。相互情報量が高いほど、その特徴は予測に貢献する」
ミラが書いた。「Communication = transfer of mutual information」
「通信も相互情報量で測れる」葵が続けた。「送信メッセージXと受信メッセージYの相互情報量が、通信路容量の上限だ」
「ノイズがあると？」
「相互情報量が減る。完全なノイズの中では、送信と受信が独立になり、I(X;Y) = 0」
由紀が深く考えた。「じゃあ、人と人のコミュニケーションも...」
「相互情報量で測れる。完璧に伝わるとは、相互情報量が最大ということ」
ミラがさらに書いた。「Redundancy = low mutual information?」
「面白い視点」葵が認めた。「冗長性は、新しい情報が少ない。既知の情報との相互情報量が高い」
由紀が整理した。「つまり、驚きが共有できる量が相互情報量」
「詩的な表現だけど、本質を捉えてる」
ミラが初めて声を発した。「あなたたちとは、相互情報量が高くなってきた」
由紀と葵は驚いた。ミラが話すのは珍しい。
「ミラの観察から、気持ちが少しずつ予測できるようになった」葵が言った。
「それって、仲良くなったってこと？」由紀が嬉しそうに聞いた。
ミラが小さく頷いた。
葵が微笑んだ。「関係が深まるとは、相互情報量が増えること。お互いの状態が相関し始める」
「でも、完璧には予測できない方がいい」
「適度な独立性も必要」
由紀がまとめた。「共有できる驚きの量が、関係の深さを測る」
ミラがノートに最後の式を書いた。
「I(人と人) = 共有された驚き」
三人は微笑み合った。情報理論は、人間関係さえも数式で表現できる。でも、数式で表せない部分もまた、重要なのだろう。
図書館の窓から夕日が差し込んだ。この瞬間の静かな理解も、一種の相互情報だった。